L'art du gamble (I)

John Doe est en prison (Far West). Le montant de sa caution de sortie est fixé à $8. Il a $3 en poche, mais son gardien accepte de lui donner une chance en lui proposant des paris. Joe peut choisir de miser le montant qu'il souhaite dans la limite de ce qu'il a; il gagne sa mise 40% du temps et la perd 60% du temps.

- Stratégie timide : Joe mise $1 à chaque fois, jusqu'à ce qu'il ait $0 (broke) ou $8 (libre).
- Stratégie sauvage : Joe mise ce qui lui manque pour atteindre $8, et s'il a moins il mise full bankroll, jusqu'à ce qu'il ait $0 (broke) ou $8 (libre).

Questions
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a) Quelle est la probabilité de monter à $8 en suivant chaque stratégie?
b) Quelle stratégie donne à John Doe la meilleure chance de sortir de prison?
c) La troisième stratégie, où John Doe mise $1 quand il a $3, et sinon mise selon la stratégie sauvage, lui donne-t-elle plus de chances de sortir de prison que la stratégie sauvage?

Ce message sera édité ultérieurement avec un beau paragraphe spoiler pour les réponses. Et John Doe vous remercie par avance pour votre aide, même s'il se doute qu'il n'est pas favori pour sortir.

a) aucune idée (très flemmard surtout)
b) je suis quasiment sûr que la meilleure méthode est le full bankroll.
c) d'instinct je dirais que non.

oliv_grenoble a écrit:

a) aucune idée (très flemmard surtout)

Si tu as idée de la méthode, après les calculs ne sont pas compliqués.

oliv_grenoble a écrit:

b) je suis quasiment sûr que la meilleure méthode est le full bankroll.

A l'instinct?

oliv_grenoble a écrit:

c) d'instinct je dirais que non.

Tu sais bien que je pose toujours une question où la réponse n'est ni oui, ni non ;-)

Chrismir a écrit:

Faut miser full bankroll pour s'éloigner du long terme vu qu'on joue EV-, puis miser 2 si on gagne, puis remiser full bankroll si on perd et ca nous donne 30% de chance de s'en sortir.

Chrismir mise donc stratégie sauvage. Son évaluation de 30% est un peu optimiste, mais il y a de l'idée.

Chrismir a écrit:

1er gamble FBK 3$ => 60% bust 40% double

2eme gamble (40% du temps) 2$ => 60% lost 40% win (0.4*0.4=16% win)

3eme gamble FBK 4$ (0.4*0.6=24% du temps) => 60% bust 40% win (0.24*0.4=9.6% win)

Donc vilain à la caution 25.6% du temps.

25,6% pour la stratégie sauvage, bonne réponse de Chrismir puis de Nemesis&Co.

Pour la stratégie timide, l'évaluation de Nemesis&Co (1,6%) est un peu pessimiste.

Nemesis&Co a écrit:

Par contre, la troisième piste (1$ si 3$ et sauvage sinon), me donne exactement 25,6% de chance de sortir (identique au sauvage).
Il y a un explication ?

Et 3,88% de chance de s'en sortir avec la méthode à 1$, c'est moins pessimiste et plus juste ?

Amusant n'est-ce pas? La troisième stratégie donne exactement la même espérance que la stratégie sauvage, bonne réponse de Nemesis&co.

Pour la méthode timide, 3,88% est encore pessimiste. Il faut dire que la méthode de calcul que vous avez sans doute utilisée pour les deux stratégies résolues ne va pas être adaptée pour évaluer la stratégie timide.

I.Résolution de la stratégie sauvage avec un papier et un crayon :
Il suffit de reprendre l'analyse postée par Chrismir, qui dénombre quatre cas :
3->P->0
3->G->6->G->8
3->G->6->P->4->G->8
3->G->6->P->4->P->0
de probabilités respectives 0.6, (0.4*0.4), (0.4*0.6*0.4) et (0.4*0.6*0.6).
La probabilité des bons cas vaut donc (0.4*0.4)+(0.4*0.6*0.4)=0.256, ou 25.6% pour les amateurs de pourcentages.

II.Résolution de la stratégie sauvage modifiée (on mise 1 quand on a 3) avec un papier et un crayon:
Je fais le même exercice, en dénombrant cette fois cinq cas :
3->P->2->P->0
3->P->2->G->4->P->0
3->P->2->G->4->G->8
3->G->4->G->8
3->G->4->P->0
La probabilité des bons cas vaut donc (0.6*0.4*0.4)+(0.4*0.4)=0.256, ou 25.6% pour les amateurs de pourcentages. Le résultat est le même, même s'il est obtenu différemment.

III.Essai de résolution de la stratégie timide avec un papier et un crayon:
On comprend tout de suite le problème qui se pose à nous pour étudier la stratégie timide : rien n'empêche qu'il y ait une série très longue, voire infinie, de cas où John Doe va gagner 1 perdre 1 gagner 1 perdre 1. Le dénombrement des cas est cette fois-ci impossible à faire, il y a un nombre infini de chemins.

IV.Description d'une autre méthode de calcul
Alors, il faut une autre méthode. Je vais la décrire d'abord dans un exemple que nous avons déjà résolu. Les cas que nous avons observés sont une suite d'états qui décrivent la situation de John Doe. Dans la stratégie sauvage, ces états sont assez simples:
Etat initial --> il a $3
Etat final 1 --> prison
Etat final 2 --> sortie
Etat intermédiaire 1 --> il a $6
Etat intermédiaire 2 --> il a $4
Pour être plus pratique, on va donc compter cinq états, et les nommer par le nombre de dollars de John Doe, c'est plus simple. On a donc 0, 3, 4, 6 et 8.

En écrivant ces cinq états sur une feuille de papier, on peut les relier par les chemins qu'a décrit Chrismir. Chaque chemin est une flèche simple qui va d'un état à un autre. Il y a un chemin qui va de 3 à 6, de 6 à 8, de 4 à 8, de 3 à 0, de 4 à 0 et de 6 à 4. Aucun chemin ne part de 8 ni de 0.



Les états 0 et 8 sont appelés absorbants - quand tu y es, tu y restes.
Les états 3, 4 et 6 sont appelés transients - ils ne sont pas absorbants.

On peut aussi écrire sous forme de tableau les chemins d'un état à un autre. A gauche en colonne, les états de départ. En haut en ligne, les états d'arrivée.



On peut observer quelques propriétés à ce tableau :
- en bas à droite, les états absorbants ont un tableau avec des 1 sur la diagonale et des zéro ailleurs (façon trou noir).
- en bas à gauche, il n'y a que des zéros : les états absorbants ne mènent vers aucun état transient (obv).
- en haut à gauche, nous avons le mini-tableau (3x3 ici) qui va nous permettre d'analyser les chemins des états transients.
- en haut à droite, nous avons un résidu qui décrit comment, à partir d'un état transient, on bascule dans un état absorbant.

C'est là que les maths interviennent. Notre tableau est une matrice, et il se trouve que les opérations que l'on peut faire sur les matrices ont une signification qui va nous aider à résoudre notre problème.

Si j'écris mon tableau ci-dessus sous la forme
------
|Q|R|
------=P
| 0|I|
------
avec les mêmes conventions de découpage entre états transients et états absorbants, alors j'ai les résultats mathématiques suivants :

- Les puissances de la matrice P se calculent à partir des puissances de la matrice Q
- Lorsque n tend vers l'infini, Q^n tend vers la matrice zéro.
- Lorsque n tend vers l'infini, P^n tend vers la matrice
------
|0|0|
------=limite (n infini) P^n
|0|I|
------
c'est à dire qu'à terme, on arrive à un état absorbant.
- La matrice N, définie par N=I+Q+Q^2+...Q^n+... (n infini) existe et vaut N=inverse(I-Q).

On obtient alors, grâce à l'expression de la matrice N, deux mesures utiles dans notre problème :
La durée moyenne du jeu en fonction de l'état initial se calcule par t=Nc, où c est le vecteur colonne avec des 1 partout; t est également un vecteur colonne.
La probabilité d'arriver à tel état absorbant à partir d'un état initial transient se calcule en effectuant le produit NR.

Dans le cas de la stratégie sauvage, on calcule facilement
La matrice N


Et la matrice NR

où on lit directement (ligne 3, colonne 8 ) que les chances qu'a John Doe de sortir sont de 0,256.

V.Remarques et conclusion partielle
La méthode choisie par Chrismir et Nemesis&co fonctionne facilement pour la stratégie sauvage et la stratégie sauvage modifiée, parce que les puissances de la matrice Q sont très vite nulles (Q^3 est nulle pour la stratégie sauvage), d'où un calcul facile de N=1+Q+Q^2 (et la somme est finie).

La méthode matricielle (en calculant N=inverse(I-Q)) permet de résoudre la stratégie timide, parce que cette fois Q^n tend vers la matrice zéro mais sans l'égaler. A vos crayons (pour ceux qui ont eu le courage de lire jusqu'ici)!

vieto a écrit:

Taamer a écrit:

I.Résolution de la stratégie sauvage avec un papier et un crayon :

[...]

La méthode matricielle (en calculant N=inverse(I-Q)) permet de résoudre la stratégie timide, parce que cette fois Q^n tend vers la matrice zéro mais sans l'égaler. A vos crayons (pour ceux qui ont eu le courage de lire jusqu'ici)!

+1






EDIT : sinon j'étais en train d'essayer (je dis bien essayer), de calculer dans ma tête ton énoncé du premier post, mais ton long post m'a achevé :)

My god la IV, flush doyle ?

Chrismir a écrit:

My god la IV, flush doyle ?

Neuro push-push IMO

VI. Résolution matricielle (chaîne de Markov) de la stratégie où John Doe mise 1
Avec les conventions décrites au §IV, j'obtiens les tableaux suivants. En haut, la matrice de transition entre les états transients (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) et les états absorbants (0, 8 ), avec chaque partie Q R 0 et I encadrée en gras. Au milieu, la matrice N, obtenue par calcul en inversant I-Q. En bas, le produit NR, qui donne les probabilités de finir broke ou libre (0 ou 8 ) en fonction de sa BR intermédiaire (entre 1 et 7).



On lit, ligne 3 colonne 8, que John Doe a 9,6% de chances de pouvoir payer sa caution en jouant la stratégie timide. Ce résultat est très inférieur aux 25,6% de chances qu'il a de pouvoir sortir en jouant la stratégie sauvage.

Comme disait Doyle Brunson avec un fort accent du Texas : "quand t'es pas favori, t'as intérêt à gambler!". Je vous laisse méditer sur la philosophie texane du poker.

D'instinct j'aurais aussi pensé au full BR xD

Sinon rien à voir avec le problème mais pour quelqu'un qui sort d'une grande école d'ingénieur (centrale c'est ça ? ) je te trouve étonnament pédagogue , compréhensible.

Louis38 a écrit:

Sinon rien à voir avec le problème mais pour quelqu'un qui sort d'une grande école d'ingénieur (centrale c'est ça ? ) je te trouve étonnament pédagogue , compréhensible.

Ouaip. J'ai toujours eu la vocation pour enseigner, mais je sais également depuis toujours que travailler pour l'éducation nationale ne m'aurait pas permis de vivre sur un train de vie familial (ou alors il faut être agrégé et faire 18h par semaine et avoir un autre taf à côté). Soupir.

J'imagine que si tu as fait central , passer l'agreg est dans tes cordes . Enfin je dis ca j'ai non plus super conscience du niveau que cela représente. Peut être pour une reconversion future :)

Plus littéralement (on ne m'en voudra pas ici de développer sur un ton plus littéraire que mathématique, mes études à moi ce sont plutôt portées sur les lettres, la philosophie, et la bière) :
Et bien oui : quand on a une espérance de gain nettement négative, c'est, paradoxalement, le gamble qui aurait plus de chance de nous sortir d'une mauvaise passe qu'un jeu timide à l'équilibre. tiens j'ai déjà lu ça quelque part . A ne pas mettre entre toutes les mains imo.;-)


pour la démonstration.

Je répond juste pour le trip de chercher pcq je pense que tu as donné la réponse depuis longtemps :)

a) J'arrive pas a calculer la proba d'arriver a 8$ en misant que 1$ à chaque fois.

L'espérance de chaque mise c'est Esp=0.4*1 - 0.6*1 = -0.2

Le chemin le plus court c'est d'avoir que des succès, donc cinq succès. Soit 0.4^5=0.01024 donc environ 1%
On peut aussi y arriver en runnant good avec des échecs, mais il faut en gros pour n échecs, n+5 succès.
Mais la probabilité reste très faible et est certainement en dessous de 1%. Donc on va la capper a 2% pour
faire large :D

Proba d'arriver a 8$ en suivant la stratégie sauvage.

L'espérance n'a pas changé.

De 3$ a 6$: proba 0.4

si il perd, c'est perdu.

De 6$ a 8$: proba 0.4

si il perd

De 4$ a 8$: proba 0.4

si il perd, c'est perdu.


D'où, p(gagner) = 0.4^2 + 0.4*0.6*0.4 = 0.16 + 0.096 = 0.256

b) La meilleure stratégie c'est donc clairement la sauvage.

c) Troisième stratégie.

- On passe à 4$ avec proba 0.4

Et à 8$ avec proba 0.4

- On tombe à 2$ avec proba 0.6

Puis 4$ avec proba 0.4
Et 8$ avec proba 0.4

p(gagner) = 0.4^2 + 0.6*0.4*0.4 = 0.256

Même proba de gagner mais la 3eme stratégie est meilleure car elle limite la variance.
Car dans la stratégie sauvage, il y a 60% de perdre dès la fin du premier tirage.

On s'en de pouvoir faire en moyenne plus de tirage si en moyenne on arrive le même nombre de fois à 8$. La variance ici c'est pas important , si ? xD

eckowezen a écrit:

Je répond juste pour le trip de chercher pcq je pense que tu as donné la réponse depuis longtemps :)

a) J'arrive pas a calculer la proba d'arriver a 8$ en misant que 1$ à chaque fois.

Tu pourras donc lire la démo du a) quelques posts plus haut. Ceci dit ton idée d'ordre de grandeur de 0,4^5 (chemin le plus court) est bien trouvée; et comme ajouter un échec et une win en plus par rapport au chemin le plus court multiplie par 0,4 et 0,6, soit 0,24; les chances résituelles diminuent rapidement (à la louche 1 + 1/4 + (1/4)² + ... converge très vite).

eckowezen a écrit:

Même proba de gagner mais la 3eme stratégie est meilleure car elle limite la variance.
Car dans la stratégie sauvage, il y a 60% de perdre dès la fin du premier tirage.

Ce n'est pas de variance qu'il s'agit! Les deux stratégies (sauvage et sauvage bis) ont la même espérance, et la même variance également. Ce qui diffère, et que tu as remarqué, c'est la longueur moyenne des chemins (qu'ils mènent à la case prison ou à la case sortie). Dans ce problème, la longueur des chemins on s'en fiche, mais dans d'autres problèmes (problèmes de martingale de roulette, ou de gains successifs de SnG, ou autres...), augmenter ou minimiser la longueur des chemins peut faire préférer une stratégie à une autre.

j'vais poster une petite énigme pour tripper, mais vu que tu es un matheux ca m'étonnerait pas que tu les connaisses déja :)

cu sur l'autre thread.