[Stratégie ludique] Pile tu gagnes, face tu rejoues

Règle du jeu : A l'aide d'une pièce de monnaie équilibrée (P(pile)=1/2; P(face)=1/2), un joueur joue au jeu suivant. Il lance la pièce une première fois. Si la pièce tombe sur face, le joueur lance à nouveau la pièce. Le jeu s'arrête dès que la pièce tombe sur pile.
Si le joueur obtient pile à son premier lancer, il reçoit 1€.
Si le joueur obtient pile à son second lancer, il reçoit 2€.
Si le joueur obtient pile à son troisième lancer, il reçoit 4€.
Si le joueur obtient pile à son quatrième lancer, il reçoit 8€.
Si le joueur obtient pile à son énième lancer, il reçoit 2^(n-1)€.

Le joueur a donc une chance sur 2 de gagner 1€, une chance sur 4 de gagner 2€, une chance sur 8 de gagner 4€, une chance sur 16 de gagner 8€, etc. L'échelle des prix n'a pas de limite maximum.

Questions :
- Quelle est l'espérance du jeu?
- A 2€ le ticket pour jouer, est-il EV+ de jouer à ce jeu?
- Si 50 millions de français majeurs (les 14 millions de français mineurs ne sont pas autorisés à jouer!) jouent une seule fois à ce jeu, quel sera le gain le plus élevé remporté sur le territoire français (métropole et outre-mer)?

Bonne amusette à tous.
Et si vous vous ennuyez au boulot, pensez à ceux qui n'en ont pas, et pensez aux joueurs de l'équipe de France de foot qui bientôt n'en auront plus.

Je fais une réponse d'instinct, sans l'ombre d'un calcul bien sûr...

1/ La pièce n'a pas de mémoire, donc il n'y a pas de limite... Moi une fois j'étais sur le rouge à la roulette et Sandrine (pour ceux qui la connaissent) a fait 29 fois le noir !
2/ Je ne pense pas que ce soit EV+
3/ Le gain n'a pas de maximum envisageable...

Aiglon147 a écrit:

Je fais une réponse d'instinct, sans l'ombre d'un calcul bien sûr...

1/ La pièce n'a pas de mémoire, donc il n'y a pas de limite... Moi une fois j'étais sur le rouge à la roulette et Sandrine (pour ceux qui la connaissent) a fait 29 fois le noir !
2/ Je ne pense pas que ce soit EV+
3/ Le gain n'a pas de maximum envisageable...

1/ L'espérance c'est une moyenne, pas un maximum!
2/ La réponse se déduit du calcul du 1/ - pas de calcul, pas de réponse!
3/ A 29 fois de suite le noir, Sandrine serait non pas championne de France, mais probablement championne du monde (i.e 6 milliards et demi d'autres essais ne suffiraient peut-être pas à détrôner son record).

1/ Pour démarrer, l'espérance au premier lancé est :
EV = 0,5 * 1€ + 0,5 * 0€ = 0,5 € ?

2/ D'instinct, c'est EV-

Intuitivement, je dirais que EV = 1 * (1/2) + 2 * (1/4) + 4 * (1/ + 8 * (1/16) + ... = 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ... = +inf

IFU a écrit:

1/ Pour démarrer, l'espérance au premier lancé est :
EV = 0,5 * 1€ + 0,5 * 0€ = 0,5 € ?

Non non, si tu fais face au premier lancer tu es content parce que tu rejoues et que tu joues pour gagner le double, le jeu se poursuit!

Le jeu est terminé dès que tu obtiens pile. Tant que tu obtiens face, tu relances (gratuitement) la pièce et ton prochain pile te rapportera davantage.

[quote="Taamer"]L'espérance c'est une moyenne, pas un maximum![quote]

Certes, mais dans le cas où le joueur fait une infinité de face, il gagne +inf €.
Donc faire une moyenne avec +inf donne +inf.

- A 2€ le ticket pour jouer, est-il EV+ de jouer à ce jeu?

Du coup, si l'espérance de gain est +inf, à n'importe quel prix c'est EV+.
Curieux ton truc...

Bon, je pars en réunion.

Ce serait bien de jouer un jeu avec une espérance infinie!

Ce n'est pas le cas ici malheureusement Zeuwan.

Mais je n'arrive pas à poser le calcul...

Le calcul est simple, c'est celui que j'ai posé plus haut. ;-)

Non ton calcul est faux.

Pourquoi ? ;-)

Tout simplement car le résultat est aberrant!

Mais je comprends que tu aies proposé ça car c'est que j'ai fait au début aussi?

Ma foi, si Taamer nous soumet le problème, c'est que ça doit cacher quelque chose.

Et pour l'instant, personne n'a soumis d'autre calcul.

Zeuwan a écrit:

Ma foi, si Taamer nous soumet le problème, c'est que ça doit cacher quelque chose.

Mouarf!

C'est juste que je fais beaucoup de probas et de stats sur mon temps libre en ce moment, et que le forum est un peu mort côté poker en attendant le 28 juin, alors...

C'est pas si aberrant que ça si tu considères que le jeu peut ne pas avoir de fin (dans le cas où on fait tout le temps face).
Si le jeu ne se termine pas, on gagne une infinité d'€.
Après, peu importe la probabilité de l'événement, ça fait toujours un gain infini.

une approche simpliste

sur une tranche de 8 joueurs qui misent 2 euros => cagnotte de 16 euros encaissée par organisateur

en moyenne (sur un grand nombre de tranches):
* 4 vont s'arreter au premier coup et encaisser 1 euro chacun soit 4euros
* les 4 autres passent étape suivante:
2 vont perdre et encaisser chaucn 2 euros soit 4 euros et 2 vont passer étape suivante

il y a déjà 8 euros de redistribués et les 2 survivants encaisseront au moins 4 euros donc au moins 16 euros seront redistribués avec chance de gagner + pour 2 joueurs
=> ca serait donc EV+

mais ca me parait bien trop simpliste comme raisonnement

Je pense que quand M@jk va poser les yeux sur ce topic, il pourra nous aider...

P.S : pour Sandrine c'est une histoire vraie bien sûr ! J'y ai laissé un bras ce soir là...

Si 50 millions de français majeurs (les 14 millions de français mineurs ne sont pas autorisés à jouer!) jouent une seule fois à ce jeu, quel sera le gain le plus élevé remporté sur le territoire français (métropole et outre-mer)?

Je pense qu'on ne peut pas connaître le gain le plus élevé. Il peut y avoir 50 millions de joueurs qui perdent tous au 1er coup.
Ou un seul joueur qui gagne 100 fois de suite.

Zeuwan a écrit:

Si 50 millions de français majeurs (les 14 millions de français mineurs ne sont pas autorisés à jouer!) jouent une seule fois à ce jeu, quel sera le gain le plus élevé remporté sur le territoire français (métropole et outre-mer)?

Je pense qu'on ne peut pas connaître le gain le plus élevé. Il peut y avoir 50 millions de joueurs qui perdent tous au 1er coup.
Ou un seul joueur qui gagne 100 fois de suite.

Ces deux scénarios sont des plus improbables, tant l'un que l'autre.

Le but de cette question est d'étudier la probabilité d'apparition des séquences de type FFFFFP en 50 millions d'essais, et de déterminer un nombre de F de suite qui peuvent exactement être atteints avec une certaine probabilité que l'on précisera.

Zeuwan a écrit:

Intuitivement, je dirais que EV = 1 * (1/2) + 2 * (1/4) + 4 * (1/ + 8 * (1/16) + ... = 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ... = +inf

Je me lance, j'ai l'impression que Zeuwan n'est pas loin, il suffirait de multiplier chaque terme par la proba d'arriver à faire n fois Face.
Ca donnerait quelque chose comme :
EV = somme [ n x (1/2^n) x (1/2^n) ] et où n -> infini
= somme [ n x (1/2^(2n)) ] et où n -> infini
= 0+

Je pense que c'est pas ça, mais si ça peut en aider certains... ^^

après relecture, le resultat de ma limite est faux.
Intuitivement je dirais que le résultat est = 2- en fait.

une autre variante :

http://www.buveurs.com/Pile-Face

squale a écrit:

une autre variante :

http://www.buveurs.com/Pile-Face

Et attention, au Monaco, ça déménage !!

Désolé de pourrir le topic, mais je peux pas m'en empêcher...