[Stratégie ludique] Pile tu gagnes, face tu rejoues

J'arrive pas du tout a poser le calcule non plus, trop vieux tout ca.
Par contre je pense que le gain de 1 euro est un leurre, car on est sur de le gagner au minimum

Le problème est de trouver l'ev du même jeu sauf que si on "face" le premier on a 0 euro, si on "face" le deuxième on gagne 3 euro, si on "face" le 3eme on gagne 7 euro ect ect.

Si quelqu'un réussit ce calcul il n'aura qu'à ajouter 1 pour transposé dans le jeu d'Alex.

Up de la discussion, et quelques aides pour poursuivre le problème.

Toute la difficulté du problème est de considérer un nombre de cas infini pour ce jeu. Il faut dire que les joueurs de poker sont davantage habitués à calculer des espérances avec un nombre de cas fini, auquel cas l'espérance est la moyenne (pondérée par les dénombrements, qui deviennent des probabilités lorsqu'il sont normés) des gains/pertes.

Or, quand on fait des sommes avec un nombre infini de termes, on n'est absolument pas certain que le résultat ne diverge pas. C'est d'ailleurs ce qu'a remarqué Zeuwan, par sa formule

Zeuwan a écrit:

Intuitivement, je dirais que EV = 1 * (1/2) + 2 * (1/4) + 4 * (1/8 ) + 8 * (1/16) + ... = 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ... = +inf

qui, même si un professeur de mathématiques la biffera en rouge, met le doigt sur le problème : la série de terme général pG, avec p=1/(2^n) et G=2^(n-1), est trivialement divergente, puisque son terme général vaut 0,5; alors que pour converger une condition nécessaire (mais pas suffisante) est que le terme général de la série tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini. L'espérance, au sens mathématique, ne peut être définie pour ce jeu.

Alors, est-ce qu'on gagne avec ce jeu? Oui, l'intuition de Zeuwan est correcte : on peut payer son ticket 2€ ou 4€ ou 8€ ou je ne sais combien, on aura toujours un gain moyen supérieur à l'achat de son ticket. Malgré cela, de nombreux avis à propos de ce jeu affirmaient qu'il ne fallait pas y jouer, que c'était sans doute EV-. Erreur grossière? Non, paradoxe.

Ce paradoxe s'appelle le paradoxe de Saint Petersbourg. Il a été proposé il y a plusieurs centaines d'années par Daniel Bernoulli (vous lirez fréquemment Bernouilli, faute d'orthographe répandue), et ce paradoxe a amené à réfléchir sur des cas où l'espérance mathématique, faute de pouvoir être définie, ne suffisait plus pour étudier certains mécanismes. Les concepts de risque/récompense, d'aversion au risque, de fonction d'utilité, ont vu le jour, et on permis de mieux cerner ce type de problème.

1/ L'espérance n'est pas définie car la série de terme général [2^(n-1)]/(2^n) est divergente.
2/ Le jeu est EV+ pour le joueur (et le joueur s'enrichira indéfiniment pour peu qu'il puisse continuer à jouer en ayant de quoi payer les prochains tickets avec sa bankroll!)

Je vous laisse réfléchir à la question 3/, qui est indépendante des deux premières pour le raisonnement. Et, en rab :

4/ Considérons la suite T (temps), où chaque terme Tk représente le nombre de pile ou face joués pendant la partie n°k. Quelle est l'espérance de T? (il n'y a pas de piège, cette fois elle existe!)

Exemple :
1ère partie : Pile, T1=1
2ème partie : Face face pile, T2=3
3ème partie : Face pile, T3=2
4ème partie : Pile, T4=1
etc.

Bon, je vois que ça a calmé tout le monde. Si vous voulez je peux ouvrir un topic sur Allemagne-Serbie

Non non, super intéressant !
Et merci de nous faire connaître ce paradoxe.

Par contre, pour le coup, là je pars réellement en réunion...

Le calcul d'EV de Zeuwan est erronée.

Rectification :

EV = 2*(-1/2)+1 * (1/2) + (2-1) * (1/4) + (4-2) * (1/8 ) + (8-4) * (1/16) + ... = -1+ 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + ... = +inf

Donc si on autorise 3 tirage max, je jeu est EV0, à 4 tirages on gagnes 0.25 euros par ticket.

Sinon le gain moyen maximum sur 50.000.000 de joueurs est compris entre 8.388.608 et 16.777.216 on résout l'équation 2^x=50.000.000 et le gain moyen maximum est de 2^(X-2), mais on peux vite s'en écarter dans un sens ou l'autre avec la variance.
En théorie le gain maximum est infini.

Sinon à priori on modifiant légèrement les règles du jeu, on peux arriver à un jeu EV+ théoriquement mais qui est EV- pratiquement.

2 euros le ticket, si on fait pile on gagne 1 centimes, puis 2 centimes, etc.
Le jeu est EV+, mais j'y jouerais pas car c'est EV- à l'échelle humaine.

(on peux comparer ca à un loto journalier à 1 euro ou tu as une chance sur 100 milliard de gagner, et quand tu gagnes tu gagnes 1000 milliard de fois ta mise, jeu méga EV+ (espérance de gain de 1000%) sauf qu'en réalité à moins d'être un oignon fini tu vas spew 1 euro par jour durant toute ta vie).

Ah... Chris dit que le gain est infini et que le jeu est EV-... ce qui était mon 1er sentiment sans calcul ! lol !

Chrismir a écrit:

Le calcul d'EV de Zeuwan est erronée.

Rectification :

EV = 2*(-1/2)+1 * (1/2) + (2-1) * (1/4) + (4-2) * (1/8 ) + (8-4) * (1/16) + ... = -1+ 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + ... = +inf

Donc si on autorise 3 tirage max, je jeu est EV0, à 4 tirages on gagnes 0.25 euros par ticket.

Sinon le gain moyen maximum sur 50.000.000 de joueurs est compris entre 8.388.608 et 16.777.216 on résout l'équation 2^x=50.000.000 et le gain moyen maximum est de 2^(X-2), mais on peux vite s'en écarter dans un sens ou l'autre avec la variance.
En théorie le gain maximum est infini.

Taamer dit que le terme général de la suite vaut 0.5 et toi tu dis 0.25...

Sinon dans mon calcul, je n'ai pas prix en compte le prix de la participation au jeu puisque je répondais à la question 1 (gain moyen) et que la donnée qui dit que c'est 2€ fait partie de la question 2.

Chrismir a écrit:

Le calcul d'EV de Fishmir est erroné.

FYP. Zeuwan a répondu correctement à la question 1, où le jeu est gratuit.

Chrismir a écrit:

Donc si on autorise 3 tirage max, je jeu est EV0, à 4 tirages on gagnes 0.25 euros par ticket.

C'est sûr, c'est plus facile de bragger en modifiant le problème pour obtenir une solution triviale.

Chrismir a écrit:

Sinon le gain moyen maximum sur 50.000.000 de joueurs est compris entre 8.388.608 et 16.777.216 on résout l'équation 2^x=50.000.000 et le gain moyen maximum est de 2^(X-2), mais on peux vite s'en écarter dans un sens ou l'autre avec la variance.
En théorie le gain maximum est infini.

Il y a de l'idée dans ton calcul du score maximum sur cinquante millions de joueurs. Mais ton blabla sur la variance c'est de la poudre aux yeux : de la même façon que l'on ne peut pas définir d'espérance mathématique pour ce problème, on ne peut pas définir de variance non plus. Allez, si à cinquante millions on est loin du long terme, alors à 6 milliards et demi on n'en sera pas plus proche... :->

Chrismir a écrit:

Sinon à priori on modifiant légèrement les règles du jeu, on peux arriver à un jeu EV+ théoriquement mais qui est EV- pratiquement.

2 euros le ticket, si on fait pile on gagne 1 centimes, puis 2 centimes, etc.
Le jeu est EV+, mais j'y jouerais pas car c'est EV- à l'échelle humaine.

(on peux comparer ca à un loto journalier à 1 euro ou tu as une chance sur 100 milliard de gagner, et quand tu gagnes tu gagnes 1000 milliard de fois ta mise, jeu méga EV+ (espérance de gain de 1000%) sauf qu'en réalité à moins d'être un oignon fini tu vas spew 1 euro par jour durant toute ta vie).

Bien vu, ça c'est le contenu du paradoxe.

Taamer a écrit:

Chrismir a écrit:

Le calcul d'EV de Fishmir est erroné.

FYP. Zeuwan a répondu correctement à la question 1, où le jeu est gratuit.

Nop, il n'y a pas que l'expression manquante "2*(-1/2)" du BI qui fait que son calcul est erronée,
Zeuwan ajoute les gains dans son équation ce qui est faux.
En réalité il n'y a pas 50% des joueurs qui vont gagner 1, mais seulement 25% (les 25% qui font pile puis face).
Et ceux qui font pile puis pile, ne gagne pas 1 + 2 mais 1 +(2-1)= 2, etc.
Il y a des gains cumulés en trop dans l'équation de Zeuwan si on suit ton énoncé :

Taamer a écrit:

Le joueur a donc une chance sur 2 de gagner 1€, une chance sur 4 de gagner 2€, une chance sur 8 de gagner 4€, une chance sur 16 de gagner 8€, etc. L'échelle des prix n'a pas de limite maximum.

On incrémente l'EV de 0.25euro par tirages supplémentaires et non pas de 0.5.

D'ailleurs le miens l'est aussi car l'expression du BI ce n'est pas "2*(-1/2)" mais "-2" tout simplement (c'est l'habitude du poker ou ta mise te reviens quand tu gagnes le pot qui ma mis dans l'erreur). Ce qui rend le jeu EV0 à partir du 7eme tirage à priori.

Personne ne fait pile puis pile. Tu fais une fois pile et le jeu est terminé.

ok j'avais (mal) compris qu'il fallait faire une série de pile, ce qui apporte le cas 1er lance = face = 0.
Donc là effectivement le calcul de zeuwan est bon.

Chrismir a écrit:

ok j'avais (mal) compris qu'il fallait faire une série de pile, ce qui apporte le cas 1er lance = face = 0.
Donc là effectivement le calcul de zeuwan est bon.

Idem pour le topscore d'une population de 50 millions, je crois que tu as décalé d'une puissance de 2.

Taamer a écrit:

4/ Considérons la suite T (temps), où chaque terme Tk représente le nombre de pile ou face joués pendant la partie n°k. Quelle est l'espérance de T? (il n'y a pas de piège, cette fois elle existe!)

Exemple :
1ère partie : Pile, T1=1
2ème partie : Face face pile, T2=3
3ème partie : Face pile, T3=2
4ème partie : Pile, T4=1
etc.

La proba d'avoir T=1 est 1/2, celle d'avoir T=2 est 1/4, T=3 est 1/8, etc.

On a donc :

EV = 1*1/2+2*1/4+3*1/8+... = somme (n=1..inf) n / (2^n)

Le terme général de la série est n/(2^n), série convergente car le rapport de deux termes consécutifs de la série (positive) tend vers 1/2 < 1 en l'infini.

On peut donc calculer l'espérance :

EV = somme (n=1..inf) n / (2^n) = 1/2 * somme (n=1..inf) n / (2^(n-1))

Or on sait que somme (n=1..inf) n*x^(n-1) = 1 / (1-x)² pour -1<x<1

Ici on a x=1/2 et somme (n=1..inf) n / (2^(n-1)) = 1 / (1/2)² = 4

Donc EV = 1/2 * 4 = 2

ChXAsh a écrit:

Taamer a écrit:

4/ Considérons la suite T (temps), où chaque terme Tk représente le nombre de pile ou face joués pendant la partie n°k. Quelle est l'espérance de T? (il n'y a pas de piège, cette fois elle existe!)

Exemple :
1ère partie : Pile, T1=1
2ème partie : Face face pile, T2=3
3ème partie : Face pile, T3=2
4ème partie : Pile, T4=1
etc.

La proba d'avoir T=1 est 1/2, celle d'avoir T=2 est 1/4, T=3 est 1/8, etc.

On a donc :

EV = 1*1/2+2*1/4+3*1/8+... = somme (n=1..inf) n / (2^n)

Le terme général de la série est n/(2^n), série convergente car le rapport de deux termes consécutifs de la série (positive) tend vers 1/2 < 1 en l'infini.

On peut donc calculer l'espérance :

EV = somme (n=1..inf) n / (2^n) = 1/2 * somme (n=1..inf) n / (2^(n-1))

Or on sait que somme (n=1..inf) n*x^(n-1) = 1 / (1-x)² pour -1<x<1

Ici on a x=1/2 et somme (n=1..inf) n / (2^(n-1)) = 1 / (1/2)² = 4

Donc EV = 1/2 * 4 = 2

Très joli. Et pour aider ceux qui sont peu familiers avec les sommes des séries convergentes, voici un petit dessin qui permet d'intuiter que somme (n=1..inf) n / (2^(n-1)) = 4 :

http://freakonometrics.blog.free.fr/index.php?post/2010/06/04/Le-paradoxe-de-Saint-P%C3%A9terbourg%2C-partie-1

Merci .. ca fait du bien de se remettre un peu dans les séries ^^

Marrant le dessin du blog, j'aurai pas pensé qu'on puisse visualiser une somme de cette manière, intéressant en tous cas.

ChXAsh a écrit:

Merci .. ca fait du bien de se remettre un peu dans les séries ^^

Marrant le dessin du blog, j'aurai pas pensé qu'on puisse visualiser une somme de cette manière, intéressant en tous cas.

Oui, ça donne déjà l'idée que le résultat est majoré, ce qui est toujours intéressant quand on cherche à trouver une limite.

Cela ajoute au paradoxe que l'espérance du nombre d'essais à jouer soit de 2, ce qui signifie que l'on s'attende à jouer la plupart du temps une fois face et une fois pile avant que le jeu ne s'arrête.

Très interessant tout ca, j ai trouvé l'espérance de Tk mais pas celle de la question 1/

Juste une question, t'as fait quoi comme études taamer pour t'intéresser autant aux maths? maths sup maths spé?

eckowezen a écrit:

Juste une question, t'as fait quoi comme études taamer pour t'intéresser autant aux maths? maths sup maths spé?

... et centrale, à FleuryChâtenay-Malabry.